4 - 2．ホログラフィを用いた形状測定 6)
光波の振幅と位相の情報を記録し，またこれを再生するホログラフィの原理は，Gabor によって開発された．その後，Leith および Upatnieks によって初めて実用化への道が切り開かれた．この後，色々な分野への応用が試みられたが，その中で，ホログラフィ干渉法は実用化した技術の一つとして定着した技術になっている．ホログラフィを再生すると，物体を照明したときに発生する拡散波と全く同じ光波が観察者の目に届く．この光波は，ある物体からの拡散光があれば，それと干渉し合う事ができ，またホログラフィからの他の再生された光波があれば，これもまた干渉し合う性質を持つ．このとき発生する干渉縞は複数の状態の間での微小な変位量を表しており，これを解析する事により複数の状態の間に存在する変位量または変形量を知ることができる．これを測定などに応用したものがホログラフィ干渉法である．
ホログラフィ干渉法の特徴として，被測定物の表面が乱反射を起こすような粗面でも良いということである．これは，干渉を起こす二つの光波が同一物からの反射によって生じるので，変形による変化分を除いて表面粗さなどの微細な構造まで同一であると見なせる．そこで，二つの波面の光路長分布の差をとると，表面粗さなどの影響は互いに打ち消し合って，変形による変化分のみが光路差として表れてくるからである．次に，光学系の要素は普通の干渉系のような精度の良いものを必要としないということである．これは，干渉する二つの光波の光路がほとんど同じであるから，2回の露光の間に変化していない部分は打ち消し合うからである．また，物体の変形前と変形後という時間的に異なる状態で二つの光波を記録し，その後，再生させることによりそれらの干渉縞を得ることができることが挙げられる．このことは，従来の干渉系では光路差をあまり大きくとれないため，不可能であった．
次に，干渉縞を用いた計測の説明として，干渉縞と変位との関係について述べる．図 4．5 について考える．
図 4．5 粗面物体による干渉
図 4．5 において，変形前の粗面 Ω が Ω’の位置に変形した場合を考える．このとき，面 Ω 上の任意の点 Piは，面 Ω’上の対応点 Pi`に変位すると仮定する．ホログラフィ干渉法を用いて変形前後の物体面 Ω，Ω’からの光波の，観測点 O における寄与を計算し干渉縞の形成を考える．
物体面が点光源 Q からの光波で照明されているとき，Pi ，Pi`における光波の複素振幅をそれぞれ
| EPi = Eiexpi |
2π |
PiQ |
} |
|
| λ |
| |
| EPi` = Ei`expi |
2π |
Pi`Q |
|
| λ |
（4．1）
で示す．Ei，Ei`は最大振幅を表し，λ は光の波長である．このとき，観測点 O での強度は
| I(O) = |
Σ
i |
{ |
Eiexpi |
2π |
( |
PiQ |
+ |
PiO |
) |
+ Ei`expi |
2π |
( |
Pi`Q |
+ |
Pi`O |
)} |
2 |
|
|
| λ |
λ |
| |
| = |
Σ
i |
( |
Ei2 + Ei`2 |
) |
|
| |
| + |
2 |
Σ
i |
EiEi`cos |
2π |
( |
PiQ |
- |
PjQ |
+ |
PiO |
- |
PjO |
) |
|
|
| λ |
| |
| + |
2 |
Σ
i≠j |
EiEjcos |
2π |
( |
PiQ |
- |
Pi`Q |
+ |
PiO |
- |
Pi`O |
) |
|
|
| λ |
| |
| + |
2 |
Σ
i≠j |
Ei`Ej`cos |
2π |
( |
Pi`Q |
- |
Pj`Q |
+ |
Pi`O |
- |
Pj`O |
) |
|
|
| λ |
| |
| + |
2 |
Σ
i≠j |
EiEj`cos |
2π |
( |
PiQ |
- |
Pj`Q |
+ |
PiO |
- |
Pj`O |
) |
|
|
| λ |
（4．2）
となる．この式において，第1項は一様な明るさを示す．第3項，第4項はそれぞれ Ω，Ω’上の異なる2点からの寄与を表し，第5項は，面 Ω，Ω’上の対応点以外の組みからの寄与を示している．第3，4および5項における光路差は，表面粗さなどのためランダムな値をとるので，各項は正負の値をとり，全ての表面からの寄与を加えると 0 になる．
ところが，第2項は二つの粗面上の対応点からの寄与を示している．従って，式（4．2）は
| I(O) = |
Σ
i |
{ |
Ei2 + Ei`2
+ 2EiEi`cos |
2π |
( |
PiQ |
- |
Pi`Q |
+ |
PiO |
- |
Pi`O |
) } |
|
| λ |
| |
| = |
Σ
i |
{ |
Ei2 + Ei`2 + 2EiEi`cos |
2π |
��i |
} |
|
|
| λ |
（4．3）
となる．��i は対応点に関する光路差である．式（4．3）から，粗面の変形により生じる干渉縞は，変形前の表面の点 Pi と，その変形後の対応点 Pi` の組みについて生じる干渉縞を，全ての組みについて重ね合わせたものであることが分かる．
式を見ると，一般の変形の場合には，変位量 di が各点によって異なるので，��i の値が場所によって色々の値をとるが，変位量が同じ点で��i が同じ値になるため，再生像上に，同じ変位量を持つ点同士が同じ明るさを持った等高線状の干渉縞が現れることが分かる．
実際の光学系において，物体の照明光側の対物レンズの先端から，物体までの距離がある程度離れていれば，近似的にではあるが，物体表面付近で照明光を平面波と見なすことができる．この近似を用いて，干渉縞と変位量の関係を次に示す図で考える．
図 4．6 変形に対応する干渉縞の意味
面 Ω 上のある点 Pi が，変形によって面 Ω’上の対応点 Pi` に移動するとする．変形前に点 Pi で反射し観察方向に届く光波と，変形後に点 Pi` で反射し観察方向に届く光波との間に生じる光路差��は
�� = di ( cosθI + cosθO )
（4．4）
となる．この�� を式（4．3）に代入することで再生像上の干渉縞の対応点における明暗が決まる．すなわち
�� = di ( cosθI + cosθO ) = Nλ
（4．5）
のとき，明るい縞が観測される．ただし，N は縞次数で正の整数，λは光源の波長である．
次に物体の照明方向と観測方向の2等分線 G 軸を基準にして，式（4．5）を変形すると
| �� = 2dicosx・cos |
( |
θO + θI |
) |
= Nλ |
|
| 2 |
（4．6）
したがって
| dicosx = |
Nλ |
|
| 2cos |
( |
θO + θI |
) |
|
| 2 |
（4．7）
が得られる．物体面上の各点におけるG軸方向の変位成分が
（4．8）
の偶数倍のとき，像面上の干渉縞は明るく，奇数倍のとき暗くなる．すなわち，像面上の干渉縞は，物体面上の各点における G 軸方向の変位成分の等変位曲線群であることを示している．ここで，δは，干渉縞から変位量を求める際の単位量である．言い換えると，暗縞の本数を数えて変位量を求める方法において，その分解能は 2δ である．
式（4．7）の分母の cos{(θO + θI) / 2} は測定感度に相当し，光学系の配置により値が定まる．点 Pi 付近で，変位量の変化が一様であると仮定して干渉縞の間隔 L を求めると
| L = |
λ |
|
| 2cosx・cos |
( |
θO + θI |
) |
grad(dicosx) |
|
| 2 |
（4．9）
となる．変位方向から物体を照明し，同じ方向から観察するとき，θO = θI = 0 であるから，同じ変位に対して縞間隔が最小になるので感度が最大になる．感度を大きくすると，縞間隔が小さくなることが分かる．ただ実際の実験においては，照明方向と観察方向を揃えると，大径のハーフミラーが必要になること，またその反射により像の撮影・観察自体が困難になるなどの問題が発生するため，今回行った実験においては， θO，θI ともに 10°程度の角度をつけて光学系を組み立てた．またこの θO，θI を用いて隣り合う明縞，または暗縞が表す変位量の差（分解能）を計算すると，ともに 0°の場合と比べ，およそ 5.0 × 10-3(μm) ほどの増加しか見られないため，観察の精度に対してはそれほど問題がないと思われる．
図 4．7 照明・観察方向と分解能の関係
スペックルパターンの影響についても述べておく．物体の変形を，ホログラフィック干渉法を用いて観察する場合，しばしば物体面と像面の間に，開口を設けることがある．物体像の焦点深度を深くすることが目的として用いられるが，これを用いると，スペックルパターンというノイズが像面全体に広がることになり監察に支障が出る．先に，式（4．2）において第3項以下は，粗面からの全ての寄与の総和をとると，相殺して 0 になると述べた．しかし，実際は全ての場所で完全に 0 とはならず，場所的に統計的な揺らぎを生じ明暗が変化する．これはレーザ光のような可干渉性のよい光を入射させたとき，粗面の色々な場所から反射された光が全て干渉するために表れる現象で，これがスペックルパターンと呼ばれている．
図 4．8 スペックルパターン
変形測定の像では，開口がある程度大きいとき，開口全体にわたる平均的なパターンが得られるので，像面のランダムな変化はそれほど問題にならない．開口が小さくなって，開口上のスペックルパターンの大きさに近づくと，ランダムの効果が大きくなり干渉縞の識別が難しくなる．本研究で観察の対象とするのは直径 30mm 以下のナットであり，焦点深度を深くする必要はそれほどない．そのため開口を設けずに開口直系が十分大きいとして，実験を行った．
次に，以上で述べたような特徴を持つホログラフィック干渉法のうち，本研究の目的であるナットの形状変化の観察に適していると思われる，実時間法と二重露光法およびデジタルホログラムを用いた方法の3つについて述べる．
